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数据分析与知识发现, 2018, 2(10): 37-45
doi: 10.11925/infotech.2096-3467.2018.0769
基于排队论的反恐警力优化配置策略研究*
Optimizing Anti-terrorist Policing with Queueing Theory
刘忠轶, 胡晨望, 谭坤, 高岩

摘要:

【目的】应用排队论模型, 优化反恐警力配置策略, 提高反恐效率和效果。【方法】M/M/1/∞和M/M/N/∞两类排队模型的基础上, 构建两种反恐警力优化配置模型, 分别求解最优警力配置方案, 通过算例对两种警力优化配置模型进行比较分析。【结果】基于M/M/N/∞排队模型的反恐警力配置模型在反恐警力配置效率和恐怖袭击案件处置效率方面更具优势。【局限】由于实际恐怖袭击案件数据和警力数据获取受限, 未进行实际数据的验证。【结论】应用排队论模型可以实现反恐警力资源的有效配置, 尤其应用M/M/N/∞模型更具优势, 可以有效提高反恐警力配置效率和恐怖袭击案件处置效率。

关键词: 排队论 ; 反恐 ; 警力优化配置

Abstract:

[Objective] This paper optimizes the deployment of anti-terrorist police resources based on the queueing theory, aiming to improve the effectiveness of counterterrorism actions. [Methods] First, we proposed two optimal anti-terrorist policing strategies based on the M/M/1/∞ and M/M/N/∞ queueing models. Then, we compared the performance of the two models with simulation cases on four factors. [Results] We found that the M/M/N/∞ model had better performance. [Limitations] We did not examine the proposed model with real world anti-terrorism and policing data. [Conclusions] The M/M/N/∞ queueing model could help us create better anti-terrorist policing strategies.

Key words: Queueing Theory ; Anti-Terrorist ; Optimization of Police Resources

1 引 言

自美国“9·11”恐怖袭击事件以来, 恐怖袭击风险的防范与管理问题一直备受世界关注。据美国国务院国家反恐中心统计数据显示, 2007至2016年间, 全世界共发生111 757起恐怖袭击事件, 其中超过74%的恐怖袭击事件造成至少1人死亡或受伤。恐怖袭击风险已成为影响世界和平稳定和地区安全的首要威胁[1]。因此, 如何有效反恐成为学界和一线实战部门共同面临的问题。

从政府角度而言, 具体的恐怖袭击风险防范策略可以分为主动出击(Proactive)和构筑防御措施(Defensive)两种策略[2]。虽然主动出击策略可以切断恐怖分子资源, 提前制止恐怖袭击, 但其影响范围较大, 且结果往往具有一定的不确定性, 所以这个策略只是定期有针对性地开展。构筑防御措施策略通过提前布控警力和安检设施等, 提供实时防范排查, 能够产生持久威慑效果, 所以各个易受攻击的目标区域都会建立防御措施。因此, 本文主要通过优化反恐警力资源配置, 构筑有效的反恐防御措施, 进而提高政府的反恐决策能力和恐怖袭击风险防范效果。

国内反恐实践方面, 公安机关作为政府反恐的主力军, 虽然在反恐体系建设方面已取得初步成效, 但也暴露出一些问题, 如处置效率不高、异地调警、超负荷工作、人海战术等。国外反恐实践方面, 美国“9·11”事件后通过了爱国者法案, 组建专门反恐力量, 制定科学的反恐体系, 有效降低了恐怖袭击事件的发生率。相比较而言, 我国反恐体系建设仍处于探索阶段, 尤其是如何优化反恐警力配置, 提高反恐警力配置效率和反恐案件处置效率, 已成为当前反恐实践中亟待解决的问题。

2 相关研究

警力优化配置问题是警务运营管理中的重要问题, 国内外已有学者对此问题进行了深入研究。从研究方法角度, 排队论在实践中有广泛应用, 而且反恐排队模型可以很好地表征公安反恐部门的反恐过程。通过应用排队论模型优化反恐警力配置问题, 可以提高反恐警力配置效率和反恐案件处置效率。

2.1 警力优化配置

警力优化配置是提高警务效能的重要方面。国内学者主要从三个方面对警力优化配置问题进行研究。

(1) 组织结构方面。赵炜[3]基于公安机关大部制改革分析了公安机关警力资源配置方案, 以“放、管、服”为公安改革目标提高警力资源配置效率; 刘枧等[4]分析了现有警种分工过细导致多警种协同不便、沟通协作效率低下的现状, 提出以大警种改革盘活现有警力、提高警力配置效率的对策。

(2) 管理制度方面。解源源等[5]指出“真实警力不足”与“虚假警力不足”的问题; 王大中[6]通过对比中外警力困境问题, 指出我国目前追求单纯警力数量增长, 忽视了警员的素质。

(3) 管理优化方面。刘忠轶等[7]利用DEA模型评估警力单元的规模效率和技术效率, 并通过投影公式优化警力配置; 王二院[8]利用多元线性回归模型, 检验警力资源的二次配置对公安机关工作效率的影响; 李侠等[9]通过构建警情排队模型, 改进了110报警系统的排队模式。

国外学者主要从警力优化配置的影响因素角度进行研究。警力“无增长改善论(Improve Without Growth)”提出通过警察队伍建设来提高效率的观点[10]。Gorkič[11]认为警察队伍应遵循权力下放、司法问责和透明度原则, 建立符合“民主警务”理念的警察队伍是应对犯罪增长的有效方式。Charles等[12]分析警察夜班轮值工作与睡眠质量对工作效率的影响, 指出警察职业特点对警力资源的影响。Kaplan等[13]利用序贯博弈模型配置警力资源, 避免犯罪分子渗入平民以减少伤亡。Mukhopadhyay等[14]利用Bender’s分解开发双层优化框架来优化巡逻警力配置。Kennedy等[15]在改进犯罪热点密度的同时, 将风险地图因素纳入警力分配, 进而预测未来犯罪并制定更加主动的预防策略。

综上, 目前警力优化配置的相关研究大多是定性研究, 定量研究相对较少, 无法满足警务运营管理的需求。排队论可以有效解决各种服务系统的优化问题, 通过设计服务台数量, 进而发挥系统最佳效率。公安反恐警力优化配置问题可以看作排队系统中的服务台设计问题, 因此本文在两类排队论模型的基础上, 进一步构建反恐警力优化配置模型, 通过成本效益分析, 优化反恐警力数量, 为一线实践反恐部门提供理论指导。

2.2 排队论的实践应用

排队论(Queuing Theory)是研究系统随机聚散现象和工作过程的数学模型, 也是分析系统优化的有力工具。国内学者通过排队论模型研究银行排队效 率[16,17]、医院门诊流程优化[18,19]、物流管理[20,21]、航道管理[22,23]、交通管理[24]等问题。国外学者中, Kaplan[25]通过排队论模型, 研究了反恐机构设置问题; Taufemback等[26]运用排队论的爱尔朗B和爱尔朗C公式指导银行准备金的优化管理等问题。

排队论在企业管理和公共服务管理等方面均有成功应用, 对社会公共服务系统的优化具有实践指导价值。公安反恐工作事关社会公共安全, 是社会公共服务中的一种, 且满足排队论模型的各种要素要求。通过建立反恐排队模型, 可以有效表征公安反恐部门对恐怖袭击案件的处置过程, 应用经典排队论模型的结论, 构建反恐警力优化配置模型, 能够优化反恐警力数量, 提高公安反恐工作效率。

3 //1/∞反恐警力优化配置模型

M/M/1/∞是一种单服务台(Single-Server)的排队模型, 其应用范围非常广泛。

3.1 //1/∞排队模型

排队论或称随机服务系统理论, 通过对服务对象(顾客)到达及服务时间的统计研究, 得出等待时间、排队长度等指标的统计规律, 然后根据这些规律优化服务台的经济费用等指标, 改进服务系统结构和效率。M/M/1/∞排队模型中第一个M表示顾客达到流或者顾客到达间隔时间的分布, 第二个M表示服务时间的分布, 且M均代表负指数分布; 第三个符号代表服务台数目, 1代表有1个服务台, 如果是N则代表有N个服务台; 第四个符号表示系统容量, ∞则代表系统容量无穷大。

M/M/1/∞单服务台排队模型中, 有关参数设置和衡量指标参照文献[27], 主要表示如下:顾客达到的时间服从参数为λ的负指数分布, λ为单位时间内顾客达到的数量, 1/λ为顾客达到的平均时间间隔; μ为单位时间内可以服务的顾客数量, 服务时间Tμ的负指数分布, 1/μ为服务台的平均服务时间。根据M/M/1/∞排队模型, 当顾客排队系统达到平稳状态时, 设${{p}_{n}}=P\left\{ N=n \right\}\left( n=0,1,2,\cdot \cdot \cdot \right)$为顾客排队系统达到平衡状态后队长N的概率分布, 则平衡方程如公式(1) 所示。

$\left\{ \begin{align} & {{\mu }_{1}}\cdot {{p}_{1}}={{\lambda }_{0}}\cdot {{p}_{0}} \\ & {{\lambda }_{n-1}}\cdot {{p}_{n-1}}+{{\mu }_{n+1}}\cdot {{p}_{n+1}}=\left( {{\lambda }_{n}}+{{\mu }_{n}} \right)\cdot {{p}_{n}} \\ \end{align} \right.$ (1)

其中, λn表示状态为n的排队系统到下一个顾客达到时刻的到达率; μn表示状态为n的排队系统到下一个顾客服务完时的平均服务率。对于只有一个服务台的排队系统, 有${{\lambda }_{n}}=\lambda \left( n=0,1,2\cdot \cdot \cdot \right)$, ${{\mu }_{n}}=\mu \left( n=0,1,2\cdot \cdot \cdot \right)$, 可以求得$\rho =\frac{\lambda }{\mu }$, ρ为服务台中正在服务的顾客平均数量, 即服务台处于工作状态的概率, 也称之为服务强度。只有$\rho =\frac{\lambda }{\mu }<1$的情况下, 即顾客出现的平均概率小于服务台的平均服务效率, 才能使服务台达到统计平衡, 满足模型假设。服务台处于空闲的概率、平均队长、平均排队队长和顾客平均滞留时间如公式(2)-公式(5)所示。

${{p}_{0}}=\frac{1}{1+\mathop{\sum }_{n=1}^{\infty }{{\rho }^{n}}}={{(\mathop{\sum }_{n=0}^{\infty }{{\rho }^{n}})}^{-1}}={{(\frac{1}{1-\rho })}^{-1}}=1-\rho $ (2)

${{L}_{s}}=\mathop{\sum }_{n=0}^{\infty }n{{p}_{n}}=\mathop{\sum }_{n=1}^{\infty }n\left( 1-\rho \right){{\rho }^{n}}=\frac{\rho }{1-\rho }=\frac{\lambda }{\mu -\lambda }$ (3)

${{L}_{p}}=\sum\nolimits_{n=1}^{\infty }{(n-1){{p}_{n}}=L-(1-{{P}_{0}})=L-\rho =\frac{{{\lambda }^{2}}}{\mu (\mu -\lambda )}}$ (4)

${{W}_{s}}=\frac{{{L}_{S}}}{\lambda }=\frac{1}{\mu -\lambda }$ (5)

顾客在排队系统中的滞留时间为等待时间Tq和接受服务时间T之和, 因此, 顾客的平均等待时间如公式(6)所示。

${{W}_{q}}=\frac{{{L}_{q}}}{\lambda }={{W}_{s}}-\frac{1}{\mu }=\frac{\lambda }{\mu (\mu -\lambda )}$ (6)

3.2 基于//1/∞模型的反恐警力优化配置模型

公安反恐部门对恐怖袭击案件的处置可以看作一种排队系统, 其中恐怖袭击案件类似于排队系统中的顾客, 公安反恐部门相当于服务台。从平稳性来看, 发生的恐怖袭击案件数量只与时间长度有关; 从无后效性来看, 没有交集的时间区间内出现的恐怖袭击案件数量是相互独立的; 从普通性来看, 任意两起恐怖袭击案件发生的时间总会有差异; 从有限性来看, 在限定时间内发生的恐怖袭击案件数量是有限的。由此可知, 恐怖袭击案件的发生符合泊松输入过程。同时, 公安反恐部门处置恐怖袭击案件的时间与恐怖袭击案件发生的时间间隔相互独立, 其概率符合负指数分布。公安部门采取“等待制”和“先到先处置”的排队服务规则, 即某一恐怖袭击发生时, 如果公安反恐部门处于空闲状态, 则及时处置恐怖袭击案件, 直到将事件平息; 如果公安反恐部门正在处置已经发生的恐怖袭击, 则该恐怖袭击需要等待处置, 直到有空闲的反恐应急专案组进行处置。综上所述, 公安反恐部门应对恐怖袭击案件符合排队模型的基本要素。

(1) M/M/1/∞反恐排队模型

考虑公安反恐部门只有一个专案组的情况, 如图1所示。

图1 M/M/1/∞反恐排队模型

M/M/1/∞单专案组反恐排队模型参数设置如下: 恐怖袭击案件出现的时间服从参数为λ的负指数分布, λ为单位时间内出现的恐怖袭击案件数量, 1/λ为恐怖袭击案件出现的平均时间间隔。公安反恐部门在面对恐怖袭击案件时只有一个专案组进行应对处置, μ为单位时间内可以处置的恐怖袭击案件数量, 处置时间Tμ的负指数分布, 1/μ为公安反恐部门的平均处置时间。该系统的空间是无限的, 即公安反恐部门可以处置的恐怖袭击案件数量是无限的, 并且待处置的恐怖袭击案件排队采用等待制, 即如果该公安反恐部门正在处理之前发生的恐怖袭击, 那么后发生的恐怖袭击案件需要排队等待, 直到恐怖袭击案件被处置完毕, 才会从排队系统中离开。

根据M/M/1/∞排队模型可知, 当恐怖袭击案件排队系统达到平稳状态后, 对于只有单专案组的排队系统, $\rho =\frac{\lambda }{\mu }$为公安反恐部门正在处置的恐怖袭击案件平均数量, 即公安反恐专案组处于工作状态的概率, 也称为反恐处置强度。只有当$\rho =\frac{\lambda }{\mu }<1$, 即恐怖袭击案件出现的平均概率小于公安反恐部门平均处置效率的情况下, 才能使反恐部门达到统计平衡。在M/M/1/∞排队模型的各项衡量指标中, 反恐警力优化配置模型将用到恐怖袭击案件的平均滞留时间, 详见公式(5)。

(2) M/M/1/∞反恐警力优化配置模型

M/M/1/∞排队系统中, 专案组对恐怖袭击案件的平均处置效率为μ, 目标函数c( μ )为恐怖袭击案件的处置成本与恐怖袭击案件在系统中滞留所产生的损失之和, 如公式(7)所示。

$\underset{\mu }{\mathop{\min }}\,c(\mu )={{c}_{1}}\mu +{{c}_{2}}{{W}_{S}}$ (7)

c1为处置一起恐怖袭击案件时的处置费用, 包括人力成本、设备成本、现场冲突成本等; c2为未及时处置的恐怖袭击案件在系统中滞留单位时间所产生的 损失。

由公式(5)和公式(7)可知:

$c(\mu )={{c}_{1}}\mu +{{c}_{2}}\frac{1}{\mu -\lambda }$ (8)

c( μ )关于μ求一阶导数得:

$\frac{\text{d}c(\mu )}{\text{d}\mu }={{c}_{1}}\mu +{{c}_{2}}\frac{1}{\mu -\lambda }=0$ (9)

解得最优的处置率为:

${{\mu }^{*}}=\lambda +\sqrt{\frac{{{c}_{2}}}{{{c}_{1}}}}$ (10)

由$\rho =\frac{\lambda }{\mu }<1$可知$\lambda <\mu $, 当$\mu \in \left( \lambda ,\lambda +\sqrt{\frac{{{c}_{2}}}{{{c}_{1}}}} \right]$时, $\frac{\text{d}c(\mu )}{\text{d}\mu }\le 0$; 当$\mu \in \left[ \lambda +\sqrt{\frac{{{c}_{2}}}{{{c}_{1}}}},+\infty \right)$时, $\frac{\text{d}c(\mu )}{\text{d}\mu }\ge 0$, 可知目标函数c( μ )在$\mu \in \left( \lambda ,+\infty \right)$上先减后增, 在$\mu =\lambda +\sqrt{\frac{{{c}_{2}}}{{{c}_{1}}}}$时取最小值。如果每个警察对恐怖袭击案件的平均处置效率为$\bar{\mu }$, 此时参与处置恐怖袭击的警察人数n满足成本最小, 如公式(11)所示。

${{n}^{*}}=\frac{{{\mu }^{*}}}{{\bar{\mu }}}=\frac{\lambda }{{\bar{\mu }}}+\frac{\sqrt{\frac{{{c}_{2}}}{{{c}_{1}}}}}{{\bar{\mu }}}$ (11)

根据计算求解可知, M/M/1/∞排队系统中, ${{n}^{\text{*}}}=\frac{\lambda }{{\bar{\mu }}}+\frac{\sqrt{\frac{{{c}_{2}}}{{{c}_{1}}}}}{{\bar{\mu }}}$是最优的警力资源配置策略, 即在公安反恐部门中只有唯一专案组时, 影响警力配置的因素有三个: 单位时间内出现恐怖袭击的数量; 警察处置恐怖袭击案件的人均效率; 处置一个恐怖袭击案件所产生的处置费用与每一个未及时处置的恐怖袭击在系统中滞留单位时间所带来的损失之比。

n*λ求导可得:

$\frac{\text{d}{{n}^{*}}}{\text{d}\lambda }=\frac{1}{{\bar{\mu }}}>0$ (12)

因此, 最优警力数量n*与单位时间的恐怖袭击案件数量λ成正比关系, 即当其他因素不变时, 公安反恐部门的最优警力配置数量随单位时间内恐怖袭击案件数量的增加而增加, 随恐怖袭击案件数量的减少而减少。据此可知, 公安反恐部门应当分析恐怖袭击案件发生的时间分布, 做好充分的准备和预案, 在安排合理警力的同时, 储备部分机动人员, 保证恐怖袭击案件发生频率提高后的处置警力充足。

n*对$\bar{\mu }$求导可得:

$\frac{\text{d}{{n}^{*}}}{\text{d}\bar{\mu }}=\frac{-2\lambda }{{{{\bar{\mu }}}^{2}}}-\frac{2\sqrt{\frac{{{c}_{2}}}{{{c}_{1}}}}}{{{{\bar{\mu }}}^{2}}}<0$ (13)

由此可知, 最优警力数量n*与民警的平均处置效率$\bar{\mu }$成反比关系, 即当其他因素不变时, 公安反恐部门的最优警力配置数量随民警平均处置效率的提高而减少, 随效率的降低而增加。因此, 公安机关应当加大对设备、技术以及训练的投入, 利用成熟理论和先进技术设备武装反恐警力, 实现处置恐怖袭击案件效率的实质性提高, 从而优化反恐警力配置, 实现警力无增长改善。

n*c2c1分别求导可得:

$\frac{\text{d}{{n}^{*}}}{\text{d}{{c}_{2}}}=\frac{1}{2\bar{\mu }}\cdot \frac{1}{\sqrt{{{c}_{1}}{{c}_{2}}}}>0$ (14)

$\frac{\text{d}{{n}^{*}}}{\text{d}{{c}_{1}}}=-\frac{\sqrt{{{c}_{2}}}}{2\bar{\mu }}\cdot {{c}_{1}}^{-\frac{3}{2}}<0$ (15)

根据运算结果可知, 最优警力数量n*与未及时处置的恐怖袭击案件在系统中滞留所产生的损失c2成正比, 与处置一个恐怖袭击案件的处置费用c1成反比, 即当其他因素不变时, 公安反恐部门的最优警力配置数量随着未及时处置的恐怖袭击案件在系统中滞留所产生损失的增加而增加, 随着处置一个恐怖袭击案件所耗费成本的增加而减少。虽然公安反恐部门需要较高的处置成本, 但是如果恐怖袭击案件没有得到及时处置, 一方面会对公民人身财产安全造成巨大的威胁, 另一方面会影响社会稳定, 让恐怖分子有可乘之机。因此, 当${{c}_{2}}\to \infty $时, 为减少恐怖袭击未得到及时处置所产生的损失成本, 增加警力是较优的选择。

4 ///∞反恐警力优化配置模型

M/M/N/∞是一种多服务台(Multi-Server)的排队模型, 其应用范围非常广泛。

4.1 ///∞排队模型

本节有关参数意义、衡量指标与3.1节相同, 同样参照文献[27]所示, 但M/M/N/∞多服务台排队模型的平稳分布和M/M/1/∞单服务台排队模型有所不同, 记${{p}_{n}}=P\left\{ N=n \right\}\left( n=0,1,2,\cdot \cdot \cdot \right)$为多服务台排队系统达到平衡状态后队长N的概率分布, 需要注意对个数为N的多服务台系统, 存在:

${{\lambda }_{n}}=\lambda ,n=0,1,2\cdot \cdot \cdot $ (16)

${{\mu }_{n}}=\left\{ \begin{matrix} n\mu ,\ n=0,1,2\cdot \cdot \cdot ,N \\ N\mu ,\ n=N,N+1,\cdot \cdot \cdot \\\end{matrix} \right.$ (17)

可得服务台的利用率${{\rho }_{N}}=\frac{\rho }{N}=\frac{\lambda }{N\mu }$, 同理可知${{\rho }_{N}}<1$才能使系统达到统计平衡, 当${{\rho }_{N}}<1$时, 由公式(1)可知:

$\left\{ \begin{align} & {{p}_{1}}={{p}_{0}}\frac{{{\lambda }_{0}}}{{{\mu }_{1}}} \\ & {{p}_{n+1}}=\frac{{{\lambda }_{n}}}{{{\mu }_{n+1}}}{{p}_{n}}=\frac{{{\lambda }_{n}}{{\lambda }_{n-1}}\cdot \cdot \cdot {{\lambda }_{0}}}{{{\mu }_{n+1}}{{\mu }_{n}}\cdot \cdot \cdot {{\mu }_{1}}}{{p}_{0}} \\ \end{align} \right.$ (18)

其中服务台的空闲概率为:

${{p}_{0}}={{\left[ \sum\nolimits_{n=0}^{N-1}{\frac{{{\rho }^{n}}}{n!}+\frac{{{\rho }^{N}}}{N!(1-{{\rho }_{N}})}} \right]}^{-1}}$ (19)

对于多服务台的等待制排队系统, 由平稳分布可得系统的平均排队长:

$\begin{align} & {{L}_{q}}=\sum\nolimits_{n=N+1}^{\infty }{\left( n-N \right){{p}_{n}}=\frac{{{p}_{0}}{{\rho }^{r}}}{N!}}\sum\nolimits_{n=N}^{\infty }{(n-N)\rho _{N}^{n-N}} \\ & \ \ \ \ \ =\frac{{{p}_{0}}{{\rho }^{N}}{{\rho }_{N}}}{N!{{(1-{{\rho }_{N}})}^{2}}} \\ \end{align}$ (20)

而系统中正在服务的顾客平均数$\bar{N}$, 即被占用的服务台的平均数为:

$\bar{N}=\sum\nolimits_{n=0}^{N-1}{n{{p}_{n}}+N}\sum\nolimits_{n=N}^{\infty }{{{p}_{n}}=\rho }$ (21)

由公式(20)和公式(21)可得平均队长为:

Ls=平均排队长+正在服务顾客的平均数

=Lq+ρ (22)

根据Little公式可以求出平均滞留时间Ws和平均等待时间Wq:

${{W}_{s}}=\frac{{{L}_{S}}}{\lambda }$ (23)

${{W}_{q}}=\frac{{{L}_{q}}}{\lambda }={{W}_{s}}-\frac{1}{\mu }$ (24)

4.2 基于///∞模型的反恐警力优化配置模型

与3.2节单专案组处置恐怖袭击案件不同, 本节主要考虑多专案组应对恐怖袭击案件的情况。

(1) M/M/N/∞反恐排队模型

在反恐实践中, 公安反恐部门往往会设置多个专案组以应对可能出现的连环恐怖袭击案件或者多个恐怖袭击案件连续发生的情况, 此时可以考虑运用多服务台排队模型来模拟处置情况, 如图2所示。

图2 M/M/N/∞反恐排队模型

多专案组模型(M/M/N/∞)假设恐怖袭击逐个出现, 相继到达的时间间隔同样服从参数为λ的负指数分布, 公安反恐部门共有N个专案组, 每个专案组处置恐怖袭击案件的时间相互独立, 且处置时间T服从于参数为μ的负指数分布。当一个恐怖袭击案件出现时, 处于空闲状态的反恐专案组立刻进行应急处置, 否则恐怖袭击案件会出现滞留排队的情况, 直到有空闲的反恐专案组开始处置。

根据M/M/N/∞排队模型可知, 恐怖袭击案件排队系统达到平稳状态后, 当公安反恐专案组处于工作状态的概率, 也称为反恐处置强度${{\rho }_{N}}=\frac{\rho }{N}=\frac{\lambda }{N\mu }<1$时, 多专案组的反恐排队系统达到统计平衡。在M/M/N/∞排队模型的各项衡量指标中, 反恐警力优化配置模型将用到恐怖袭击案件的平均滞留时间${{W}_{s}}=\frac{{{L}_{S}}}{\lambda }$, 其中LS解析形式详见公式(20)-公式(22)。

(2) M/M/N/∞反恐警力优化配置模型

在多专案组排队模型(M/M/N/∞)中, 假设每个专案组处置效率μ确定。在平稳状态下, 目标函数C(N)为专案组处置成本与恐怖袭击案件滞留所产生的损失之和, 如公式(25)所示。

$\underset{N}{\mathop{\min }}\,C(N)={{c}_{3}}N+{{c}_{2}}{{W}_{S}}$ (25)

其中, c3为每个专案组单位时间内处置恐怖袭击案件的平均成本, 包括小组人员成本、小组维持正常运作的成本、设备成本以及现场处置成本等; c2为未及时处置的恐怖袭击案件在系统中滞留单位时间所产生的损失, WS为反恐应急部门中专案组的数量, N为恐怖袭击的平均滞留时间。专案组数量N是需要优化的决策变量, 即求出使C(N)最小时的N*

专案组数N只能取整数, 所以C(N)是离散函数, 因此采用边际分析的方法求专案组数量的最优解。为了使成本C(N)达到最小, 即C(N*), 存在:

$\left\{ \begin{matrix} C({{N}^{*}})\le C({{N}^{*}}-1) \\ C({{N}^{*}})\le C({{N}^{*}}+1) \\\end{matrix} \right.$ (26)

将公式(25)带入可得:

${{c}_{3}}{{N}^{*}}+{{c}_{2}}{{W}_{S}}({{N}^{*}})\le {{c}_{3}}({{N}^{*}}-1)+{{c}_{2}}{{W}_{S}}({{N}^{*}}-1)$

${{c}_{3}}{{N}^{*}}+{{c}_{2}}{{W}_{S}}({{N}^{*}})\le {{c}_{3}}({{N}^{*}}+1)+{{c}_{2}}{{W}_{S}}({{N}^{*}}+1)$

化简得:

${{W}_{S}}({{N}^{*}})-{{W}_{S}}({{N}^{*}}+1)\le \frac{{{c}_{3}}}{{{c}_{2}}}\le {{W}_{S}}({{N}^{*}}-1)-{{W}_{S}}({{N}^{*}})$ (27)

此时可以根据不同的专案组数量求得相应的平均滞留时间, 并计算相邻滞留时间的差值, 由于c3c2是常数, 因此, 可以根据其比值落在哪个与专案组数量N相关的不等式中, 确定专案组的最优数量。

5 算例分析

为更好地说明前述理论模型的结果, 本节通过数据进行算例分析。假设某地区一时间段内连续发生多起恐怖袭击案件, 发生频率为每6小时一起, 公安反恐部门中单警处置恐怖袭击案件的效率为$\frac{1}{200}$, 反恐专案组为20人一组。

5.1 //1/∞反恐模型与///∞反恐模型分析

当公安反恐部门只有单专案组处置恐怖袭击案件时, 构成M/M/1/∞排队模型。由上述数据可以确定M/M/1/∞模型相关参数为: 恐怖袭击案件的平均到达率$\lambda =\frac{1}{6}=0.1667$, 每个警察的处置效率$\bar{\mu }=\frac{1}{200}=0.005$。如果公安反恐部门设置多个专案组应对恐怖袭击案件, 则构成M/M/N/∞排队模型。由上述数据可以确定M/M/N/∞模型相关参数为: 恐怖袭击案件的平均到达率$\lambda =\frac{1}{6}$, 反恐专案组的处置效率$\mu =20\bar{\mu }=0.1$。

c1为处置一个恐怖袭击案件时的成本, c3为每个专案组单位时间内处置恐怖袭击案件的平均成本, 可以求得${{c}_{1}}={{c}_{3}}\cdot \frac{1}{\mu }$。当其他参数确定时, c1c2c3的取值是影响两种排队模型的警力配置效率和反恐案件处置效率的关键。

c2不变, c1发生变化时, M/M/1/∞反恐排队模型中的最优警力配置和恐怖袭击案件平均等待时间如表1所示。

表1 M/M/1/∞反恐排队模型中c1n*Wq的影响

c1不变, c2发生变化时, M/M/1/∞反恐排队模型中的最优警力配置和恐怖袭击案件平均等待时间如表2所示。

表2 M/M/1/∞反恐排队模型中c2n*Wq的影响

c2不变, ${{c}_{3}}={{c}_{1}}\cdot \mu $发生变化时, M/M/N/∞反恐排队模型中的最优警力配置和恐怖袭击案件平均等待时间如表3所示。

表3 M/M/N/∞反恐排队模型中c3N*Wq的影响

当${{c}_{3}}={{c}_{1}}\cdot \mu $不变, c2发生变化时, M/M/N/∞反恐排队模型中的最优警力配置和恐怖袭击案件平均等待时间如表4所示。

表4 M/M/N/∞反恐排队模型中c2N*Wq的影响

5.2 //1/∞反恐模型与///∞反恐模型比较

(1) 警力配置效率分析

通过比较最优的警力配置数量, 可以反映出两种反恐排队模型的警力配置效率。分别比较表1表3表2表4n*和${{\bar{N}}^{\text{*}}}$可知, 当c1c2c3变化时, 同等条件下M/M/1/∞模式所需警力大约为M/M/N/∞模式所需警力的2-3倍, 虽然警力的增加在一定程度上可以提高案件的处置速度, 但无限增加警力是不切实际的方案, 公安反恐部门无法做到警力的无限增加。相比较而言, M/M/N/∞排队模型所需最优警力数量更少, 因此在警力配置效率上, M/M/N/∞排队模型更具优势。

(2) 反恐案件处置效率分析

通过比较恐怖袭击案件的平均等待时间, 可以反映出两种反恐排队模型的反恐处置效率。比较表1表3表2表4Wq可知, 当c1c2c3变化时, 在M/M/1/∞与M/M/N/∞两种模式下恐怖袭击案件的平均等待时间都很短, 但M/M/N/∞模式下的平均等待时间更短一些, 说明M/M/N/∞模式具有更快的应急反应速度, 可以更快地处置恐怖袭击案件。因此, 在反恐案件处置效率上, M/M/N/∞模式更具有优势。

6 结 语

本文运用排队论中的M/M/1/∞和M/M/N/∞模型分析公安反恐部门处置恐怖袭击案件的两种情况, 构建反恐警力优化配置模型, 并进行优化和对比分析, 研究结果表明:

在反恐警力优化配置过程中, 当公安反恐部门只有单专案组时, 利用M/M/1/∞排队模型构建了M/M/1/∞反恐警力优化配置模型。公安反恐部门的最优警力数量与恐怖袭击案件的平均处置效率、恐怖袭击案件出现的频率、恐怖袭击案件未得到及时处置时所产生的损失和处置恐怖袭击案件的成本有关。当公安反恐部门有多个专案组时, 利用M/M/N/∞排队模型构建了M/M/N/∞反恐警力优化配置模型来优化专案组的数量。由模型可知, 专案组处置恐怖袭击案件的成本和未及时处置恐怖袭击案件的滞留损失是影响专案组数量的关键因素。算例结果表明采用排队论的方法可以实现反恐警力配置的优化, 同时发现, M/M/N/∞反恐警力优化配置模型比M/M/1/∞反恐警力优化配置模型更具有优势。在M/M/N/∞反恐警力优化配置模型中, 公安反恐部门可以有更高的反恐案件处置效率, 也可以实现较少警力情况下的优化配置。

基于模型分析结果, 提出以下政策性建议:

(1) 优化警力结构, 加强反恐防御。公安机关作为应对恐怖袭击的主力军, 应优化警力结构, 增加情报分析、巡逻等方面的警力, 加强反恐情报搜集和反恐预防工作, 仔细分析恐怖袭击发生的时空特性, 做好充分准备和预案, 从根源上遏制恐怖袭击的发生。

(2) 推广技术应用, 提高警务效率。反恐所需的警力数量与公安反恐处置效率成反比关系, 公安反恐部门应加大对设备、技术以及训练的投入, 利用成熟理论和先进技术设备武装反恐警力, 推广定位追踪、视频监控、人脸识别、空中侦查等设备的应用, 提高恐怖袭击案件处置效率, 实现警力无增长改善。

(3) 完善警务保障, 实现警力增加。未及时处置恐怖袭击所产生滞留的损失与处置成本之比和所需警力成正比, 虽然公安机关开展反恐工作需要较高成本, 但是如果不及时处置恐怖袭击, 会对社会造成无法估量的物质和精神损失, 最终造成的损失远远大于处置成本。因此, 完善警务保障, 增加反恐警力, 是短时间内应对恐怖袭击的有效途径之一。

作者贡献声明:

刘忠轶: 提出研究思路, 模型构建, 论文撰写;

胡晨望: 模型构建和算例分析, 论文撰写;

谭坤: 模型和算例分析, 论文撰写;

高岩: 论文审阅和修改。

利益冲突声明:

所有作者声明不存在利益冲突关系。

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